Come calcolare la retta dei minimi quadrati

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Il metodo dei minimi quadrati ci permette di calcolare l’ equazione e di tracciare la retta che interpola al meglio una serie di valori y in funzione di x o viceversa

Istruzioni

  • 1
    1) introduzione

    il metodo dei minimi quadrati permette di scrivere l’ equazione della retta
    y = ax + b (1)
    in cui “a” è la pendenza (o coefficiente angolare) della retta e ” b” è la sua intercetta con l’ asse-y. Che si ottiene semplicemente ponendo x = 0.
    Questa retta, chiamata anche “retta di regressione lineare”, è quella che meglio approssima una serie di dati in cui una grandezza “y” (variabile dipendente) è espressa in funzione di una grandezza “x” (variabile indipendente) riportata sull’ asse delle ascisse.
    Per costruire questa retta, occorrono almeno 5 punti espressi su di un grafico da una coppia di coordinate cartesiane (x;y) per ognuno, ma possono esserne necessari anche 10 o più per avere una maggiore accuratezza.
  • 2
    Poter tracciare questa retta con una buona approssimazione, cioè senza che i dati siano troppo dispersi sopra e sotto la retta è importante per esprimere la dipendenza di “y” da “x” in forma lineare, la più semplice da utilizzare dopo aver tracciato la retta stessa. In questo modo, ogni volta che si fa una misura, un’ analisi chimica, fisica, statistica, tecnica o economica, ogni valore y(i) che si ottiene per una certa grandezza (per esempio, dalla lettura di uno strumento su di una soluzione a concentrazione incognita di un metallo) si sostituisce nell’ equazione della retta ottenuta con i minimi quadrati e si ottiene il valore x(i) della concentrazione.

    E’ da notare che, in teoria, ci sono diverse rette che potrebbero interpolare i dati riportati su di un grafico, come si vedrebbe chiedendo a varie persone di tracciarne una ad occhio ad interpolare la stessa serie di dati; ogni persona traccerebbe la sua retta, con una pendenza ed una posizione leggermente diversa da quella degli altri.
    Il metodo dei minimi quadrati, invece, permette di ricavare e tracciare la retta migliore di tutte, quella attorno a cui i dati si situano molto vicino e in modo comunque casuale.
  • 3
    Di solito, si traccia la retta a partire dall’ origine degli assi, in modo che il termine “b” dell’ equazione sia nullo con buona approssimazione in modo da avere una retta del tipo
    y = ax (2)
    ma spesso si sceglie di non trascurare il termine “b” e di riportarlo come lettura residua del valore y quando x = 0, per esempio, un valore di intensità di corrente residua quando la differenza di potenziale v = 0, oppure uno strumento di analisi chimica che dà una lettura non nulla anche a concentrazione pari a zero.
    Si riporta questo valore di “b” anche per tenerlo sotto controllo e vedere come varia facendo tante serie di analisi sulla stessa grandezza con lo stesso strumento, lo stesso operatore e lo stesso metodo; queste condizioni sono definite di “ripetibilità ristretta”.
  • 4
    2) come tracciare la retta dei minimi quadrati

    - il primo passo è fare una bella tabellina in cui ordinare in senso crescente i dati della x e quelli della y e, in fondo a queste due colonne, calcolare e trascrivere rispettivamente la somma delle x, abbreviata con sum(x) e quella delle y come sum(y) . Poi serve aggiungere altre 3 colonne in cui riportiamo le x^2 e, sempre in fondo, la loro somma sum(x^2) e infine i prodotti di ogni x per la rispettiva y, cioè x1y1, x2y2, x3y3,…, xnyn con la somma sum(xy) di tutti questi prodotti in fondo alla colonna.

    - A questo punto, si passa ad utilizzare un sistema a 2 equazioni e 2 incognite dove queste ultime sono proprio i coefficienti “a” e “b” della retta che vogliamo trovare e i coefficienti numerici da inserire sono le varie “sum” che abbiamo scritto in tabella, in fondo ad ogni colonna.
    Le due equazioni del sistema sono, per una serie di “n” misure:



    sum(y) = a sum(x) + nb

    sum(xy) = a sum(x^2) + b sum(x) (3)

    e’ un sistema semplice, formato dalle “equazioni normali dei minimi quadrati”, che si risolve per sostituzione esplicitando, ad esempio, la “a” in funzione di “b” nella prima equazione e sostituendo tale valore al posto di “a” nella seconda. A questo punto, si risolve la seconda equazione (tutta in funzione di “b”) trovando il valore di “b” e sostituendolo nella prima equazione per ottenere “a”.
    Questo ci dà il valore esatto dell’ equazione dei minimi quadrati.
  • 5
    3) retta inversa con x in funzione di y

    possiamo tracciare la retta con x in funzione di y, cioè con x che diventa la variabile dipendente e si riporta sull’ asse delle ordinate.
    La retta sarà così del tipo
    x = ay + b (4)
    anche se riferita alla stessa serie di dati, non avrà di solito gli stessi valori di “a” e di “b” della retta (1) che rimane comunque la più usata.
    Il suo sistema di equazioni normali quindi vede l’ inversione delle x con le y:

    sum(x) = a sum(y) + bn

    sum(xy) = a sum(y^2) + b sum(y) (5)

    in questo caso, occorre avere nella tabella la colonna delle y^2 con la relativa sum(y^2) in fondo.

    Da vari anni, grazie ai computers, si può tracciare molto rapidamente la retta dei minimi quadrati con programma in excel o in access, impostando prima la tabella con soltanto le due colonne dei dati x ed y, selezionandola col mouse e scegliendo la funzione relativa, cioè “regr.lin”, che dà proprio la regressione lineare della nostra serie in esame.
  • 6
    4) quando non si può usare la retta dei minimi quadrati

    questo accade quando la serie di valori sul grafico ha un andamento curvilineo, sia crescente che decrescente, con una concavità evidente della distribuzione verso il basso o verso l’ alto.
    In questi casi, facciamo un errore troppo grosso se interpoliamo con una retta ed occorre trovare una curva di grado superiore come una parabola, un polinomio di 3° grado, una curva esponenziale e così via che interpolino molto meglio la nostra serie di dati. In questi casi, occorre una serie di dati ben più numerosa e già le equazioni normali della parabola dei minimi quadrati sono 3 ed implicano calcoli ben più lunghi e complessi. Fortunatamente, ci sono i programmi e le funzioni del pc a fare anche queste interpolazioni molto rapidamente e con precisione.
  • 7
    5) coefficiente di correlazione

    questo parametro, indicato con “r”, serve per verificare in modo quantitativo il grado di correlazione della serie di dati, cioè quanto sono prossimi i punti sperimentali rispetto a quelli della retta che li interpola.
    Più i punti sperimentali sono vicini a questa retta, più “r” sarà prossimo ad 1 che corrisponde alla situazione perfetta in cui i punti sperimentali sono tutti esattamente lungo la retta dei minimi quadrati.
    Dei valori buoni di “r” si hanno di solito per r > 0,95, mentre valori bassi e prossimi a zero significano che non esiste alcuna possibilità di correlazione lineare o non lineare tra i punti sperimentali. “R” si calcola mediante la formula seguente:

    r = sum(xy) / sqr[sum(x^2) sum(y^2)] (6)

    dove sqr rappresenta la radice quadrata e le sum dei quadrati di x ed y sono le stesse usate per la retta dei minimi quadrati.

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