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Come risolvere equazioni differenziali lineari di primo ordine

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Foto Come risolvere equazioni differenziali lineari di primo ordine
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In questa guida mostrerò come risolvere equazioni differenziali di primo grado di tipo lineare. Prima di spiegare passaggio per passaggio come operare però, effettuerò la dimostrazione della formula risolutiva generale.

Cosa serve per completare questa guida:

- foglio;
- penna;
- conoscenza base delle equazione differenziali;
- esercizio.



Istruzioni

  • 1
    Per iniziare presentiamo prima di tutto un’equazione differenziale. Si dice equazione differenziale un’equazione dove la variabile indipendente è una funzione della variabile dipendente ed è presente il differenziale di entrambe le variabili. Si definisce invece equazione differenziale di primo ordine lineare un’equazione avente la seguente forma:
    y’=a(x)*y+b(x)*y^0
    inizierò ora ad effettuare la dimostrazione della formula risolutiva che applicherete per risolvere la seguente equazione differenziale.
    Per prima cosa poniamo la variabile b(x)=0 per ottenere un’equazione a variabili separabili semplicemente risolvibile.
    Vi ritroverete dunque con la seguente equazione:
    y’=a(x)*y
  • 2
    Prima di continuare ricordo che y’ può anche essere scritto nel seguente modo:
    dy/dx
    perciò l’equazione scritta in precedenza risulterà:
    dy/dx=a(x)*y
    effettuando il minimo comune multiplo:
    dy=a(x)*y*dx
    dividendo i membri:
    dy/y=a(x)dx
    per risolvere ora questa equazione bisogna effettuare l’integrale di ambo i membri e risolverlo. Una volta risolto avrà la seguente forma(non potente disegnare il simbolo di integrale indicherò gli integrali con in(funzione):
    log|y|=in(a(x)dx+c1
  • 3
    Ricordando le proprietà del logaritmo:
    log|x|=z; x=e^z
    otteniamo che l’equazione scritta precedentemente può anche venir scritta nel seguente modo:
    |y|=e^in(a(x)dx+c1
    ovvero:
    y=+-(e^c1*e^in(a(x)dx)
    poichè c è una costante è possibile scrivere l’equazione nella seguente maniera:
    y=c*e^in(a(x)dx con c appartenente ai reali
    il termine:
    e^in(a(x)dx) si chiama fattore integrante della funzione.
  • 4
    Per continuare applichiamo ora il metodo di lagrange o della variazione delle costanti arbitrarie, ovvero poniamo la costante c come se fosse una funzione della variabile x. Perciò:
    c=z(x)
    sostituendo all’equazione scritta in precedenza:
    y=z(x)*e^in(a(x)dx)
    e supponiamo che questa funzione sia la soluzione dell’equazione differenziale lineare.
    Derivando rispetto ad x otteniamo quindi:
    y’=z’(x)*e^in(a(x)dx)+z(x)*e^in(a(x)dx)*a(x)
  • 5
    Poichè:
    y=z(x)*e^in(a(x)dx)
    otterremo, sostituendo alla formula appena ottenuta:
    y’=z’(x)*e^in(a(x)dx)+a(x)*y
    sostituendo orala seguente equazione all’equazione di partenza:
    y’=a(x)*y+b(x)
    otteniamo:
    z’(x)*e^in(a(x)dx)+a(x)*y=a(x)*y+b(x)
    semplificando l’equazione:
    z’(x)*e^in(a(x)dx)=b(x)
  • 6
    Riportiamo ora l’equazione nella seguente forma:
    dz/dx=[b(x)/e^in(a(x)dx)]
    ovvero:
    dz/dx=[b(x)*e^-in(a(x)dx)]
    a questo punto, per risolvere l’equazione basterà risolvere l’eqauzione precedente ed integrare il secondo membro:
    z=in(b(x)*e^-in(a(x)dx)dx)+c dove c è una costante arbitraria casuale
    sostituendo ora la z all’equazione del metodo di lagrange otteniamo l’eqauzione risolutiva delle equazioni differenziali di primo ordine lineari:
    y=e^in(a(x)dx)*[in(b(x)*e^-in(a(x)dx)dx)+c]
  • 7
    Per risolvere quindi tutti i tipi di equazioni differenziali basterà utilizzare esclusivamente la formula risolutiva in precedenza scritta. Per semplicità vi consiglio di lavorarla a pezzi poichè, con equazioni molto complesse, risulta piuttosto lunga e potrebbe confondervi le idee. Ad ogni modo ricordatevi di ripetere gli integrali/derivate prima di passare allo studio delle equazioni differenziali poichè essi sono molto importanti per risolvere l’equazioni differenziali che, poichè costituite da differenziali delle variabili, necessitano dell’integrazione per essere risolte. Ricordatevi anche che, utilizzando la formula risolutiva, al termine dell’esercizio otterrete l’integrale generale. Per calcolare un integrale particolare basterà andare a sostituire all’equazione da voi ottenuta i valori che l’esercizio vi darà utilizzando la seguente formula:
    y(x0)=y0
  • 8
    Vediamo ora un semplice esercizio di esempio per fissare meglio il concetto. Supponiamo di avere la seguente equazione differenziale:
    y’+xy=x
    riportiamo l’equazione nella forma canonica:
    y’=-xy+x
    a questo punto poniamo le nostre due incognite uguali ai rispettivi valori:
    a(x)=-x ; b(x)x
    otterremo così:
    y=e^in(-x dx)*[in(x*e^-in(x dx)dx) +c]
    risolvendo:
    e^-1/2x^2 *[in(e^1/2x^2 * x dx +c]=
    e^-1/2x^2 *[e^1/2x^2 +c]= 1+ce^-1/2x^2
  • 9
    Molto spesso sui vari libri i risultati vengono riportati in messa in evidenza. Per farlo mettete per appunto in evidenza il termine comune e sistemate l’equazione. Esistono inoltre alcuni casi particolari dove dovrete ricordare alcune proprietà; per esempio, se vi troverete in questa situazione:
    e^ln(x)
    ricordatevi che questa equazione sarà uguale a x poichè avete una funzione elevata alla sua funzione inversa (ln corrisponde a logaritmo in base e di x). Se invece avrete questa situazione:
    e^-ln(x)
    la soluzione sarà 1/x poichè nei logaritmi la somma corrisponde al prodotto e la sottrazione alla divisione. Fate perciò attenzione a questi casi particolari e soprattutto effettuate molti esercizi: l’argomento di per sè è semplice ma richiede tempo e pratica per essere assimilato

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