Come risolvere le equazioni di 2° grado complete

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Ecco una guida semplice per studenti del liceo su come capire e risolvere le equazioni di 2° grado

Istruzioni

  • 1
    1) una breve presentazione delle equazioni di 2° grado

    le equazioni di 2° grado complete del tipo generico

    ax^2 + bx + c = 0 (1)

    in cui a deve essere un numero reale diverso da zero e “b” e “c” due numeri reali (che possono anche essere = 0 se l’ equazione non è completa), sono molto importanti in algebra perchè permettono di risolvere un gran numero di problemi in cui una legge fisica può essere rappresentata mediante un’ equazione di questo tipo, come la traiettoria di un oggetto o di un proiettile lanciato in aria oppure la curvatura che deve avere la sezione di uno specchio concavo per concentrare la luce solare in un punto detto “fuoco”.
    Inoltre, queste equazioni ammettono in gran parte dei casi 2 soluzioni reali, distinte o coincidenti e, in ogni caso, 2 soluzioni nel campo molto più vasto dei numeri complessi.
    Inoltre, in geometria analitica, se poniamo una grandezza y come variabile in funzione di x, scrivendo cioè y = f(x), l’ equazione

    y = f(x) = ax^2 + bx + c (2)

    rappresenta l’ equazione di una parabola di cui l’ equazione (1) è semplicemente il caso particolare in cui y = 0 cioè, graficamente, significa trovare le intersezioni x1 e x2 della curva parabolica con l’ asse delle x, di equazione appunto y = 0. Queste intersezioni x1 e x2 corrispondono esattamente alle radici o soluzioni algebriche dell’ equazione (1). Da questo possiamo vedere come algebra e geometria analitica siano sempre strettamente legate.
  • 2
    2) come trovare le soluzioni dell’ equazione di 2° grado:
    metodo n° 1.

    Data l’ equazione di 2° grado generica (1) che ha soluzioni reali x1 ed x2, possiamo dimostrare facilmente che

    x1 + x2 = -b/a (3)
    x1 x2 = c/a (4)

    cioè che la somma delle soluzioni o radici dell’ equazione ed il loro prodotto sono strettamente dipendenti dai coefficienti dell’ equazione stessa. Quindi, partendo da due numeri generici x1 e x2, dal loro prodotto e dalla loro somma, possiamo scrivere facilmente l’ equazione di 2° grado che ha per soluzioni proprio questi due numeri.
  • 3
    La dimostrazione di questa importante relazione è semplice:
    data l’ equazione generica:
    ax^2 + bx + c = 0

    dividiamo i due membri per “a”, in modo che il primo coefficiente sia = 1:

    x^2 + (b/a) x + (c/a) x = 0

    ed eguagliamo questa espressione a quella equivalente in cui il polinomio di 2° grado con soluzioni x1 ed x2 si può scomporre nel prodotto di due fattori:

    (x – x1) (x – x2) = x^2 + (b/a) x + (c/a) .

    Facendo i calcoli al primo membro, otteniamo:

    x^2 – x x2 – x x1 + x1 x2 = x^2 + (b/a) x + (c/a)

    x^2 – x (x2 + x1) + x1 x2 = x^2 + (b/a) x + (c/a)

    dal confronto dei due membri, vediamo facilmente che

    x2 + x1 = – b/a e che
    x1 x2 = c/a
  • 4
    Esempio n°1:
    vogliamo trovare due numeri la cui somma è pari a 2 e il cui prodotto è pari a -3.
    Chiaramente, i due numeri x1 ed x2 sono le soluzioni di un’ equazione di 2° grado che troveremo facilmente scrivendo:

    x1 + x2 = 2 (5)
    x1 x2 = -3 (6)

    quindi, dalle espressioni (3) e (4), considerando la nostra equazione di 2° grado nella forma x^2 + (b/a) x + (c/a) = 0,
    - b/a = 2 oppure b/a = -2
    c/a = -3
    quindi l’ equazione è:

    x^2 – 2x -3 = 0

    risolvendo l’ equazione con la formula risolvente di cui parleremo nel prossimo paragrafo, troviamo i due numeri:
    x1 = -1 e x2 = 3
    lo stesso risultato si può ottenere semplicemente risolvendo il sistema dato dalle due relazioni (5) e (6), dato che sono chiaramente vere entrambe.
  • 5
    Esempio n° 2
    possiamo risolvere anche il problema inverso, partendo dall’ equazione di 2° grado per trovare le sue soluzioni, ancora una volta, senza risolvere la formula risolvente che, in ogni caso, è semplice da usare. Così se abbiamo l’ equazione di 2° grado:

    3x^2 – 2x – 4 = 0 ovvero x^2 – 2/3 x – 4/3 = 0 .

    Sapendo che

    x1 + x2 = 2/3
    x1 x2 = – 4/3

    possiamo semplicemente risolvere il sistema di queste due equazioni per trovare x1 ed x2. Facendo i calcoli, troviamo i numeri decimali approssimati:
    x1 = 1,535
    x2 = -0,868
  • 6
    3) come trovare le soluzioni dell’ equazione di 2° grado
    metodo n° 2

    e’ ben nota ed utile l’ equazione risolvente compatta che dimostriamo subito semplicemente partendo dall’ equazione generica

    ax^2 + bx + c = 0 in cui, come al solito, “a” è diverso da 0.

    Moltiplicando tutti i termini per 4a e portando a 2° membro il termine noto,

    4a^2 x^2 + 4abx = – 4ac

    aggiungiamo ora ad entrambi i membri b^2, affinchè il primo membro sia un quadrato perfetto:

    4a^2 x^2 + 4abx + b^2 = b^2 – 4ac
    (2ax + b)^2 = b^2 – 4ac

    se estraiamo la radice quadrata (sqr) da entrambi i membri,
    2ax + b = +/-sqr(b^2 – 4ac) —> 2ax = -b +/-sqr(b^2 – 4ac) —>
    —> x = [-b +/-sqr(b^2 - 4ac)] / 2a (7)
  • 7
    Il termine sotto radice si chiama “discriminante” (delta) e questo nome si giustifica considerando che il suo segno discrimina che tipo di soluzioni avremo per l’ equazione di 2° grado:
    - se delta < 0, la radice di un numero negativo darà soluzioni immaginarie.
    - Se delta = 0, si hanno semplicemente due radici coincidenti x1 = x2 = -b/2a, perchè l’ equazione di 2° grado corrisponde ad un quadrato perfetto tipo (x – x1)^2.
    - Se delta > 0, le radici sono reali e distinte:
    x1 = -b + sqr(b^2 – 4ac) / 2a
    x2 = -b – sqr(b^2 – 4ac) / 2a
  • 8
    4) la formula ridotta

    dalla formula risolvente (7), possiamo ricavarne una più semplice per i calcoli nel caso che il 2° coefficiente dell’ equazione di 2° grado sia pari. Pertanto, se poniamo
    b/2 = p —> b = 2p, l’ equazione generica diventa:

    ax^2 + 2px + c = 0

    con la formula risolvente (7) abbiamo:

    x = [- 2p +/-sqr(4p^2 - 4ac)] / 2a = [-2p +/-2sqr( p^2 - ac)] / 2a =

    = [- p +/-sqr(p^2 - ac)] / a (8), nota come “formula ridotta”
  • 9
    Esempio n° 3

    troviamo le radici reali dell’ equazione:

    2x^2 – 3x + 1 = 0

    il discriminante delta è > 0, quindi troveremo due soluzioni reali e distinte:
    x = [-b +/-sqr(b^2 - 4ac)] / 2a = [3 +/- sqr(9 - 8)] / 4 ;

    x1 = 1
    x2 = 1/2
  • 10
    Esempio n° 4

    troviamo le radici reali dell’ equazione seguente:

    -2x^2 + 4x + 1 = 0

    usando la formula ridotta, anche in questo caso vediamo che il delta è > 0 e le soluzioni sono reali:
    x = [-p +/- sqr[p^2 - ac] / a (dove p = b/2) = [-2 +/-sqr(4 + 2)] / -2 ;

    x1 = – 0,2247
    x2 = 2,2245

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