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Come studiare una funzione matematica

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Foto Come studiare una funzione matematica
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In questa guida spiego come studiare una funzione matematica di vario tipo.

Cosa serve per completare questa guida:

- foglio;
- penna;
- eventualmente calcolatrice.



Istruzioni

  • 1
    Per studiare una funzione matematica ci sono alcuni passi precisi da seguire, ma non sempre in realtà tutti i passi possono essere applicati. Per alcune funzioni non si può facilmente studiarne il segno per esempio, e in tal caso si prosegue con i passi seguenti cercando di raccogliere più informazioni possibili dagli altri passi. Di seguito elenco i punti su cui poter lavorare.
  • 2
    Dominio
    È l’insieme di esistenza della funzione ed è anche detto campo di esistenza, è l’insieme in cui la funzione esiste ed assume dei valori.
    Per trovarlo si impongo delle condizioni di esistenza alla funzione.
    Per capire quali condizioni imporre è utile seguire il seguente schema che indica i tipi di funzioni che hanno punti problematici e come trovare tali punti. Indico con f(x) una generica funzione.

    - Se la funzione è fratta, cioè del tipo f(x) = 1/g(x)
    —> imporre: g(x)=!0
    (la scrittura =! Vuol dire diverso)

    - se la funzione è una radice con indice n pari, cioè del tipo f(x) = sqrt(g(x))
    —> imporre: g(x)>=0
    (la scrittura >= indica maggiore o uguale)

    - se la funzione è un logaritmo, cioè del tipo f(x) = log(g(x))
    —> imporre: g(x)>0

    - se la funzione è una arcsen o arccos, cioè del tipo f(x)=arcsen(g(x)) o f(x)=arccos(x)
    —> imporre: -1<=g(x)<=1
    (la scrittura <= indica minore o uguale)

    nota: in caso di funzione che presenta alcuni di questi tipi di funzione mischiati insieme occorre studiare tutti i punti problematici e imporre la condizione giusta per ogni funzione problematica che compare.
  • 3
    Struttura del grafico: funzione pari o dispari

    un aiuto per disegnare il grafico è capire la funzione è pari o dispari o nessuna delle due. Questo passo non rappresenta una cosa fondamentale da fare, da solo un elemento in più.

    Funzione pari vuol dire che il suo grafico presenta una simmetria rispetto all’asse x=0 (l’asse verticale).
    Mentre se la funzione è dispari il suo grafico presenta una simmetria rispetto alla retta y=0, ma in senso ribaltato, cioè si ha che il grafico nel primo quadrante è uguale, ma ribaltato rispetto a quello nel terzo quadrante. Stessa cosa per secondo e quarto quadrante. Una esempio di funzione dispari è f(x)=x^3 (x elevata alla terza)

    nota: la funzione può essere nè pari nè dispari!

    Per capire se la funzione è pari o dispari basta calcolare f(-x), che vuol dire sostituire alla variabile x la variabile -x e semplificare poi la scrittura della funzione che si ottiene. Se viene uguale a f(x) la funzione è pari, se viene uguale a -f(x) la funzione è dispari, se non viene nessuna delle due scritture la funzione non è nè pari nè dispari.
  • 4
    Studio del segno della funzion

    in alcuni casi si può impostare la disequazione f(x)>0 per capire che segno ha funzione nei vari intervalli del suo dominio. Basta fare lo schemino del segno della funzione che si usa per risolvere la disequazione. Benchè questo passo sia molto utile per il disegno del grafico non sempre è possibile farlo, infatti, se sono coinvolte funzioni elementari di diverso tipo non è sempre possibile capire dove la funzione ha valori positivi e dove negativi.
  • 5
    Intersezioni con gli assi

    si possono cercare i punti di contatto della funzione con gli assi ortogonali che si usano come sistema di riferimento per disegnare il grafico della funzione. Questo è utile nella fase del disegno perché fornisce le coordinate di uno o più punti da individuare nel grafico e che aiutano a capire l’andamento della funzione.

    Per calcolare le intersezioni con l’asse delle ordinate basta prendere x=0 e sostituirlo nella scrittura della funzione. Si trova un valore di y e si hanno dunque le coordinate di un punto, che sono del tipo (0,f(0)).

    Per trovare le intersezioni con l’asse delle ascisse si interseca con la retta y=0, che vuol dire porre la funzione uguale a zero e risolvere l’equazione che si ottiene. Si calcolano quindi le x di n punti e si hanno punti del tipo (x1,0), … , (Xn,0).
    Può capitare che tale equazioni non sia facilmente risolvibile, questo si verifica quando si hanno funzioni polinomiali sommate con logaritmiche o trigonometriche. In questi casi non si risolve l’equazione e si passa al punto successivo.
  • 6
    Limiti agli estremi del dominio

    una cosa molto importante da studiare sono i limiti agli estremi del dominio. Vanno dunque calcolati i valori dei limiti per x che tende a tutti i valori che rappresentano gli estremi degli intervalli che compongo il dominio. Se il dominio è composto da intervalli non limitati i limiti vanno calcolati anche per x che tende a più e meno infinito a seconda che l’intervallo sia superiormente o inferiormente non limitato.

    Nota: negli estremi che sono compresi nel dominio il calcolo del limite è il calcolo del valore della funzione in quel punto.
  • 7
    Asintoti

    il calcolo dei limiti permette di individuare gli asintoti. Gli asintoti sono rette a cui il grafico della funzione si avvicina per x che tende ad un particolare valore (compresi più e meno infinito). Sono utili per disegnare il grafico perché permettono di dire che vicino ad un certo valore di x (matematicamente si parla di intorno di x) la funzione si avvicina alla retta che si dice asintoto. La funzione e il suo asintoto non si toccheranno mai in quel punto! Andranno entrambe all’infinito senza toccarsi! Si può immaginare l’asintoto come una sorta di guida per disegnare la funzione.
    Per determinare gli asintoti ci sono alcune indicazioni in base al tipo di asintoto.
  • 8
    Asintoti orizzontali

    se con x che tende a più o meno infinito si ottiene un limite per la funzione pari ad un numero b (cioè non infinito) allora la retta y=b è un asintoto orizzontale per la funzione. Disegnando tale retta nel grafico della funzione si ha che al crescere della x verso più infinito (o al decrescere verso meno infinito) la funzione si avvicina a tale retta. La funzione può avvicinarsi alla retta sia dal basso che dall’alto, ma questo non implica che la funzione sia sempre da uno dei due lati della retta, prima di avvicinarsi alla retta la può intersecare più volte! Questo perché la retta da un comportamento della funzione in un intorno dell’infinito e non sul dominio della funzione.
    Un esempio di asintoto orizzontale è la retta y=0 per la funzione esponenzioale e^x con x che tende a meno infinito.
  • 9
    Asintoti verticali

    se con x che tende ad un numero a (quindi non infinito) si ottiene come limite più o meno infinito, la retta x=a è un asintoto verticale. Nel grafico della funzione c’è una retta verticale passante per a e prima e/o dopo tale retta la funzione si avvicina a questa retta. Anche in questo caso la funzione non toccherà mai la retta, ma a differenza del caso precedente non può intersecarla mai.
    Un esempio di asintoto verticale è la retta x=π/2 per la funzione tg(x) con x che tende a π/2.
  • 10
    Asintoti obliqui

    se con x che tende a più o meno infinito si ottiene come limite più o meno infinito si ha un asintoto obliquo, l’asintoto è dunque una retta della forma y=m x + q. Per determinare tale retta bisogna trovare i valori di m e di q. Il valore di m si trova calcolando il limite per x che tende a più o meno infinito della funzione moltiplicata per 1/x. Se tale valore viene infinito allora non esiste asintoto per x che tende al valore che si stava provando. Per determinare q si calcola il valore del limite per x che tende a più o meno infinito di f(x) – m x. Anche in questo limite se si ottiene più o meno infinito non esiste nessun asintoto.
  • 11
    Derivata prima e andamento della funzione

    un altro passo molto importante è il calcolo della derivata prima della funzione. Basta dunque calcolare f’(x), la derivata della funzione rispetto alla variabile x. La derivata prima è utile per capire l’andamento della funzione, vale infatti la regola seguente: dove la derivata è positiva la funzione è crescente e dove la derivata è negativa la funzione è decrescente. Per conoscere l’andamento della funzione f(x) bisogna studiare il segno della derivata prima f’(x) e si ottengo dunque gli intervalli in cui la funzione è crescente e descrescente.
  • 12
    Punti di massimo e minino

    i punti di massimo e minimo della funzione sono quelli in cui la derivata prima è nulla. Nel passo precedente si è studiato il segno della derivata f’(x), ora basta considerare i punti in cui la derivata prima vale zero. Questi punti sono quelli di massimo o di minimo per la funzione, per capire di che tipo è un punto basta osservare l’andamento della funzione prima e dopo il punto. Se la funzione è crescente prima del punto e decrescente dopo allora il punto è di massimo, se la funzione è decrescente prima del punto e crescente dopo allora è un punto di minimo.
    Per calcolare la posizione precisa dei punti di massimo e minimo è sufficiente sostituire nella funzione f(x) i valori trovati come x.
  • 13
    Derivata seconda e concavità della funzione

    lo studio della derivata seconda è secondario, può aiutare davvero solo in casi particolari in cui gli altri elementi calcolati non mostrano facilmente la concavità della funzione.
    Per calcola la derivata seconda della funzione f(x) basta calcolare la derivata prima della funzione f’(x). Vale la seguente regola: dove la derivata seconda è positiva la funzione ha la concavità verso l’alto e dove la derivata seconda è negativa la funzione ha la concavità verso il basso. I punti in cui la derivata seconda è nulla sono punti di flesso per la funzione, cioè punti in cui cambia la concavità della funzione.

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